例谈数列单调性的判断及运用
　　摘要：数列单调性在高考中占有重要位置，这类试题重在考查学生的分析，探索能力和思维的发散性，具有相当的深度和难度．本文总结了判断数列单调性的常用方法：比较法（作差，作商）和构造函数法，并结合具体例题探讨了如何利用数列单调性解题．
　　关键词：数列单调性；比较法；作差法；作商法；构造函数法；导数法
　　
　　函数是高中数学的一条主线，贯穿高中数学始终，其单调性是历年高考必考内容，而数列是函数思想的应用，因而数列单调性在高考中也有十分重要的位置，也是学生普遍感到棘手的问题，笔者根据平时教学总结了一些常用解法，现介绍给读者，以期共勉。
1 比较法
　　对于数列，由于是递增数列，是递减数列．因此，可以利用作差法判断数列的单调性．对于各项为正数的数列，由于是递增数列，是递减数列，因此，可以利用作商法判断数列的单调性．
　　利用比较法判断数列单调性分四步：（1）作差（或商），（2）变形整理，（3）与0（或1）比较大小，（4）下结论．
1.1作差比较
例1已知数列的前n项和，数列的前n项和．（Ⅰ）求数列与的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当时，．
　　[解析]（1）；（过程略） ．（2）由（1）知，，从而．由得，，又，解得，即．又当时，成立，即．因此，当且仅当时, ．
　　评析：本题采用作差法判断 与（n≥3）的大小关系．按照作差（或商）、变形整理、与0（或1）比较大小、下结论的步骤证明了数列的单调性．
1.2作商比较
例题1第2小题的解法2：
　　[解析]由得，．即，又，解得则，即．又当时，成立，即．由于，因此，当且仅当时, ．
　　评析：本题采用作商法判断与的大小关系．注意，作商法判断单调性适用于满足的数列的，对于的数列的须谨慎对待．
2 构造函数法 
　　由于数列是定义在自然数集或其子集的函数，因此，可以根据数列通项公式、递推公式或其它关系式构造新函数，充分利用常见函数的单调性、导数这一强大工具等来判断构造的新函数的单调性，最终判断数列的单调性。
2.1 利用通项公式构造函数
例2设函数f(x)为R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x)．（Ⅰ）证明F(x)在R上为增函数；（Ⅱ）若F(x1)+F(x2)>0，试判断x1+x2与2的大小（写出推理过程）；（Ⅲ）若数列｛an｝的通项公式为，试问是否存在正整数n，使F(an)取得最值，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
　　[解析]（Ⅰ）（Ⅱ）过程略；
　　（Ⅲ），构造函数，由知，在分别是减函数．
　　对于数列｛an｝，当时，；当≥12时，．
综上所述：存在正整数n，使F(an)取最值，且F(a11)最小，F(a12)最大．
评析：本题首先根据数列的通项公式构造新函数，然后对新函数求导，最后导数的性质判断函数的增减性，最终找出数列中最大项与最小项．
2.2 利用递推公式构造函数
例3设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；（Ⅱ）证明：．
　　[解析]（Ⅰ）证明：当时，，因此，函数在(0,1)上是增函数；
　　（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
，由在是增函数，且在处连续，则在是增函数，，即成立；
　　（ⅱ）假设当时，成立，即．那么，当时，由在区间是增函数，得．依题设，，则，也就是说当时，也成立；
　　根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
　　评析：第（2）题利用了利用递推公式构造函数，运用第（1）小题的结论得到函数的单调性，从而证明数列是单调递增数列，其中运用了导数工具判断函数的单调性，体现了数学知识、方法的综合运用．
2.3 利用其它关系式构造函数
例4已知An(an，bn)（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a,sn是数列｛an｝的前n项和，且满足：Sn2＝3n2an+Sn-12，an≠0，n=2,3,4,……
（1）证明数列；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M，时，数列{an}是单调递增数列；
（3）证明当a∈M时，弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增．
　　解：（1）证明略；
　　（2）由题意知S2+S1=12，所以=12-2a而a3+a2=15，a4+a3=21，所以a3=3+2a，a4=18-2a．
数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，所以a2k=a2+6(k-1)，a2k+1=a3+6(k-1)，a2k+2=a4+6(k-1)( k∈N*)．因此，数列{an}是单调递增数列a1<a2且a2k<a2k+1<a2k+2对任意的k∈N*成立a1<a2且a2+6(k-1)<a3+6(k-1)<a4+6(k-1) a1<a2<a3<a4a<12-2a<3+2a<18-2a
　　所以，a的取值集合是
　　（3）

记，则
当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数．所以时，，
从而，所以 在和上都是增函数．
由（2）知，当时，数列{an}单调递增．
取x0=an，因为an<an+1<an+2，所以，
所以，
∴kn<kn+1，即弦 (n∈N*)的斜率随n递增．
　　评析：由于｛an｝的通项公式是分段函数的形式，因此，第(2)题首先求出a2k,a2k+1的通项公式，然后根据{an}是单调递增数列a2k<a2k+1<a2k+2建立不等式，最后求出a的取值范围．第(3)题的解题关键是根据构造函数，依据导数法判断函数单调性，从而得到两个不等式，最终证明结论．            （谢伟）